清华大学线性代数（2）课程第四、五讲：线性变换

参考资料:
清华大学数学科学系-线性代数-马辉
《工程数学 线性代数 第六版》同济大学数学系高等教育出版社
Linear Algebra by Gilbert Strang MIT麻省理工线性代数公开视频课，非常推荐！

线性空间与线性变换

向量空间又称线性空间，是线性代数中一个最基本的概念。

线性空间的定义和性质

定义1 设$V$是一个非空集合，$\mathbb{R}$为实数域。如果在$V$中定义了一个加法，即对于任意两个元素$\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V$，总有惟一的一个元素$\boldsymbol{\gamma} \in V$与之对应，称为$\boldsymbol{\alpha}$与$\boldsymbol{\beta}$的和，记作$\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}$；在$V$中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数$\lambda \in \mathbb{R}$ 与任一元素$\boldsymbol{\alpha} \in V$，总有惟一的一个元素$\boldsymbol{\delta} \in V$与之对应，称为$\lambda$与$\boldsymbol{\alpha}$的数量乘积，记作$\boldsymbol{\delta}=\lambda \boldsymbol{\alpha}$，并且这两种运算满足以下八条运算规律 ( 设$\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma} \in V, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$）：
（i） $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha} ;$
（ii）$(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}) ;$
（iii）在 $V$ 中存在零元素$\mathbf{0}$,对任何 $\boldsymbol{\alpha} \in V$,都有 $\boldsymbol{\alpha}+\mathbf{0}=\boldsymbol{\alpha} ;$
（iv）对任何 $\boldsymbol{\alpha} \in V$, 都有 $\boldsymbol{\alpha}$ 的负元素 $\boldsymbol{\beta} \in V,$ 使 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0} ;$
（v） $1 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$
（vi） $\lambda(\mu \boldsymbol{\alpha})=(\lambda \mu) \boldsymbol{\alpha} ;$
（vii） $(\lambda+\mu) \boldsymbol{\alpha}=\lambda \boldsymbol{\alpha}+\mu \boldsymbol{\alpha} ;$
（viii） $\lambda(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\lambda \boldsymbol{\alpha}+\lambda \boldsymbol{\beta},$
那么，$V$就称为（实数域$\mathbb{R}$上的）向量空间（或线性空间），$V$中元素不论其本来的性质如何，统称为 （实）向量

简言之，凡满足上述八条规律的加法和数乘运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间，其中的元素就称为向量。

过去我们习惯把有序数组叫做向量，现在我们把向量和向量空间的概念推广，使向量及向量空间的概念更具一般性。当然推广后向量的概念更加抽象化了。

向量不一定是有序数组
向量空间中的运算只要求满足上述八条运算规律

下面举一些不是有序数组的向量空间以及向量的实例：

例1： 次数不超过n的多项式的全体，记作$P[x]_{n}$，即

$P[x]_{n}=\left\{\boldsymbol{p}=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{n}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in \mathbb{R}\right\}$

对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间。这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律

例2： 正弦函数的集合

$S[x]=\{\boldsymbol{s}=A \sin (x+B) \mid A, B \in \mathbb{R}\}$

对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间。这是因为：通常的函数加法及数乘运算显然满足线性运算规律

下面讨论线性空间的性质

1.零向量是唯一的

2.任一向量的负向量是唯一的，$\boldsymbol{\alpha}$的负向量记作$-\boldsymbol{\alpha}$

3.$0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0},(-1) \boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha}, \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0}$

4.如果$\lambda \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$，则$\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$

定义2 设$V$是一个线性空间，$L$是$V$的一个非空子集，如果$L$对于$V$中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称$L$为$V$的子空间。

定理 线性空间$V$的非空子集$L$构成子空间的充分必要条件是:$L$对于$V$中的线性运算封闭。

线性空间同构的定义

一般地，设$V$与$U$是两个线性空间，如果在它们的向量之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间$V$与$U$同构。

基变换与坐标变换

同一向量在不同的基中有不同的坐标，不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢?
设$\boldsymbol{\alpha}{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{n}$及$\boldsymbol{\beta}{1}, \cdots, \boldsymbol{\beta}{n}$是线性空间$V_{n}$中的两个基

$\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\beta}_{1}=p_{11} \boldsymbol{\alpha}_{1}+p_{21} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+p_{n 1} \boldsymbol{\alpha}_{n}, \\ \boldsymbol{\beta}_{2}=p_{12} \boldsymbol{\alpha}_{1}+p_{22} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+p_{n 2} \boldsymbol{\alpha}_{n}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \boldsymbol{\beta}_{n}=p_{1 n} \boldsymbol{\alpha}_{1}+p_{2 n} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+p_{n n} \boldsymbol{\alpha}_{n}, \end{array}\right.$

把$\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{n}$这n个有序向量记作$\left(\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{n}\right)$，记n阶矩阵$\boldsymbol{P}=\left(p_{i j}\right)$，利用向量和矩阵的形式，上式可表示为

$\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right) \boldsymbol{P}$

上面两式称为基变换公式，矩阵$\boldsymbol{P}$称为由基$\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{n}$到基$\boldsymbol{\beta}{1}, \boldsymbol{\beta}{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}{n}$的过渡矩阵。由于$\boldsymbol{\beta}{1}, \boldsymbol{\beta}{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}$线性无关，故过渡矩阵$\boldsymbol{P}$可逆。

定理设$V{n}$中的向量$\boldsymbol{\alpha}$在基$\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{n}$中的坐标为$\left(x{1}, x{2}, \cdots, x{n}\right)^{\mathrm{T}}$，在基$\boldsymbol{\beta}{1}, \boldsymbol{\beta}{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}{n}$中的坐标为$\left(x{1}^{\prime}, x{2}^{\prime}, \cdots, x_{n}^{\prime}\right)^{\mathrm{T}}$，若两个基满足上面两个关系式，则有坐标变换公式：

$\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{c} x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \\ \vdots \\ x_{n}^{\prime} \end{array}\right)$

或

$\left(\begin{array}{c} x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \\ \vdots \\ x_{n}^{\prime} \end{array}\right)=\boldsymbol{P}^{-1}\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)$

证明：因为

$\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)=\boldsymbol{\alpha}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \\ \vdots \\ x_{n}^{\prime} \end{array}\right)$ $=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right) \boldsymbol{P}\left(\begin{array}{c} x_{1}^{\prime} \\ x_{2}^{\prime} \\ \vdots \\ x_{n}^{\prime} \end{array}\right)$

由于$\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$线性无关，证毕。

线性变换

定义设$V{n}, U{m}$分别是n维和m维线性空间，$T$是一个从$V{n}$到$U{m}$的映射，如果映射$T$满足：
（i）任给$\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2} \in V{n}$（从而$\boldsymbol{\alpha}{1}+\boldsymbol{\alpha}{2} \in V{n}$）有

$T\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)=T\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}\right)+T\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)$

（ii）任给$\boldsymbol{\alpha} \in V{n}, \lambda \in \mathbb{R}$（从而$\lambda \boldsymbol{\alpha} \in V{n}$），有

$T(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\lambda T(\boldsymbol{\alpha})$

那么，$T$就称为从$V{n}$到$U{m}$的线性映射，或称为线性变换。简言之，线性映射就是保持线性组合的对应的映射。

线性变换具有下述基本性质：

（i）$T \mathbf{0}=\mathbf{0}, T(-\boldsymbol{\alpha})=-T \boldsymbol{a}$
（ii）若$\boldsymbol{\beta}=k{1} \boldsymbol{\alpha}{1}+k{2} \boldsymbol{\alpha}{2}+\cdots+k{m} \boldsymbol{\alpha}{m}$，则

$T \boldsymbol{\beta}=k_{1} T \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} T \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m} T \boldsymbol{\alpha}_{m}$

（iii）线性变换$T$的像集$T\left(V_{n}\right)$是一个线性空间，称为线性变换$T$的像空间。
（iv）使$T \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$的$\boldsymbol{\alpha}$的全体

$N_{T}=\left\{\boldsymbol{\alpha} \mid \boldsymbol{\alpha} \in V_{n}, T \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}\right\}$

也是一个线性空间，$N_{T}$称为线性变换$T$的核

线性变换的矩阵表示

$\mathbb{R}^{n}$中的线性变换$T$，都能用关系式

$T(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}\right)$

表示，其中$\boldsymbol{A}=\left(T\left(\boldsymbol{e}{1}\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{e}{n}\right)\right)$

定义设$T$是线性空间$V{n}$中的线性变换，在$V{n}$中取定一个基$\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots,
\boldsymbol{\alpha}_{n}$，如果这个基在变换$T$下的像(用这个基线性表示)为

$\left\{\begin{array}{l} T\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}\right)=a_{11} \boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{21} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{n 1} \boldsymbol{\alpha}_{r}, \\ T\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)=a_{12} \boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{22} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{n 2} \boldsymbol{\alpha}_{r}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ T\left(\boldsymbol{\alpha}_{n}\right)=a_{1 n} \boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{2 n} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{n n} \boldsymbol{\alpha}_{r}, \end{array}\right.$

记$T\left(\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{n}\right)=\left(T\left(\boldsymbol{\alpha}{1}\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}{2}\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}{n}\right)\right)$，上式可以表示为

$T\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right) \boldsymbol{A}$

其中

$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)$

那么，$A$就称为线性变换$T$在基$\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$下的矩阵.

显然，矩阵$A$由基的像$T\left(\boldsymbol{\alpha}{1}\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}{n}\right)$惟一确定。

如果给出一个矩阵$A$作为线性变换$T$在基$\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{n}$下的矩阵，也就是给出了这个基在变换$T$下的像，那么，根据变换$T$保持线性关系的特性，我们来推导变换$T$必须满足的关系式。
$V{n}$中的任意元素记为$\boldsymbol{\alpha}=\sum{i=1}^{n} x{i} \boldsymbol{\alpha}$有

$T\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} T\left(\boldsymbol{\alpha}_{i}\right)$ $=\left(T\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}\right), T\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}\right), \cdots, T\left(\boldsymbol{\alpha}_{n}\right)\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)$ $=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)$

即

$T\left[\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)\right]=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right) \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) .$

在$V_{n}$中取定一个基以后，由线性变换$T$可惟一地确定一个矩阵$A$，由一个矩阵$A$也可惟一地确定一个线性变换$T$，这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系。

由上面的关系式，可见$\boldsymbol{\alpha}$与$T(\boldsymbol{\alpha})$在基$\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$下的坐标分别是

$\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right), T(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)$

即按坐标表示，有

$T(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$

Hello,David!

线性代数（15）：线性空间与线性变换