参考资料：
线代启示录：傅立叶分析专题
本节运用Gram-Schmidt正交化程序推导实多项式空间的一组正交基底 Legendre多项式。
令$\mathcal{P}$为定义于区间$[a, b]$的连续实函数所构成的内积空间，设$f$和$g$属于$\mathcal{P}$，我们定义$f$和$g$的内积如下：
在某些情况下，若无法取得区间$[a, b]$中完整的连续函数值，可使用离散运算逼近：
若$\langle f, g\rangle= 0$，我们称$f$和$g$正交。
令$\mathcal{P}{n}$表示定义于区间$[-1,1]$的$n$次实多项式形成的函数空间，对于$f, g \in \mathcal{P}{n}$，定义其内积为
运用Gram-Schmidt正交化可获得$\mathcal{P}{n}$的一组正交基底，表示为$\left{p{0}(x), p{1}(x), \ldots, p{n}(x)\right}$，其中$p{k}(x)$为$k$次多项式，且当$i \neq j, \quad\left\langle p{i}, p_{j}\right\rangle= 0$
下面给出推导过程，针对$\mathcal{P}{n}=\operatorname{span}\left{1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right}$，先令$p{0}(x)=1$。在区间$[-1,1]$，1正交于$x$，立即得$p{1}(x)=x$。再将$x^{2}$投影至$p{0}(x), p_{1}(x)$的分量扣除：
因为投影残量同时正交$p{0}(x), p{1}(x)$，故令$p{2}(x)=x^{2}-\frac{1}{3}$。同样地，继续将$x^{3}$投影至$p{0}(x), p{1}(x), p{2}(x)$的分量扣除：
也就得到$p{3}(x)=x^{3}-\frac{3}{5} x$。重复上述步骤即可导出$\mathcal{P}{n}$的一组完整正交基底，以下是前几个多项式：
如果我们对多项式正规化使得$p_{k}(1)=1, \quad k=0,1,2, \ldots$，下面给出前几个正规化多项式：
满足：