斐波那契数列的通项公式

由差分方程，特征值，特征向量推导斐波那契数列的通项公式

1.斐波那契数列（Fibonacci sequence）

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：$F(1)=1, \quad F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2) \quad\left(n>=3, \quad n \in N^{*}\right)$。在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

斐波那契数列是在数学中非常有趣的一个数列，它在自然界中也有很多应用。比如叶子按照螺旋的方式长在树上，苹果树上叶子绕着它的茎每2圈有5片叶子，榆树上每3圈有8片叶子，柳树上每5圈有13片叶子。

2.矩阵可对角化在斐波那契数列通项公式推导中的作用

Fibonacci数列：数列$F_{n}: 0,1,1,2,3,5,8,13, \cdots$满足规律：

$$F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}$$

这是一个差分方程。

怎么样从$F{0}=0, F{1}=1$出发，求出Fibonacci数列的通项公式呢？
令

$$\mathbf{u}_{k}=\left(\begin{array}{c}{F_{k+1}} \\ {F_{k}}\end{array}\right)$$

则

$$\left\{\begin{array}{l}{F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}} \\ {F_{k+1}=F_{k+1}}\end{array}\right.$$

即

$$\mathbf{u}_{k+1}=\left(\begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {1} & {0}\end{array}\right)\mathbf{u}_{k}=A \mathbf{u}_{k}$$

于是$\mathbf{u}{k}=A^{k} \mathbf{u}{0}$，只需求$A^{k}$

$$\operatorname{det}(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}{1-\lambda} & {1} \\ {1} & {-\lambda}\end{array}\right|=\lambda^{2}-\lambda-1$$ $$\Longrightarrow \lambda_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \lambda_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

由初始值$F{0}=0, F{1}=1$，给出

$$\mathbf{u}_{0}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{c}{F_{k+1}} \\ {F_{k}}\end{array}\right)=\mathbf{u}_{k}=A^{k} \mathbf{u}_{0}=S \Lambda^{k} S^{-1} \mathbf{u}_{0}$$ $$=\left(\begin{array}{cc}{\lambda_{1}} & {\lambda_{2}} \\ {1} & {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\lambda_{1}^{k}} & {0} \\ {0} & {\lambda_{2}^{k}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1}\end{array}\right) \frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}$$

Fibonacci数$F_{k}$是这个乘积的第二个分量

$$F_{k}=\frac{\lambda_{1}^{k}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}-\frac{\lambda_{2}^{k}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{k}\right]$$

这就是斐波那契数列的通项公式