线性代数（11）：方阵的行列式及其性质

清华大学线性代数课程第16，17，18讲：行列式及其性质

参考资料:
清华大学数学科学系-线性代数-马辉
《工程数学 线性代数 第六版》 同济大学数学系 高等教育出版社
Linear Algebra by Gilbert Strang MIT麻省理工线性代数公开视频课，非常推荐！

1.行列式的定义

定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作$\operatorname{det} \mathbf{A}$或$|\mathbf{A}|$。
由$\mathbf{A}$确定$|\mathbf{A}|$的这个运算满足下述运算规律（设A、B为n阶方阵，$\lambda$为数）：
（1） $\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A|$ （行列式性质1）；
（2） $|\lambda \mathbf{A}|=\lambda^{n}|\mathbf{A}|$；
（3） $|A B|=|A||B|$
（4） $|A| \neq 0 \Longleftrightarrow A$可逆
（5） 若A可逆，则$\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=(\operatorname{det}(A))^{-1}$
（6） 若A是一个正交矩阵，则$\operatorname{det} A=\pm 1$
（7）$\left|I{n}\right|=\operatorname{det}\left(I{n}\right)=1$
注意：$|A+B| \neq|A|+|B|,|k A| \neq k|A|, k \in \mathbb{R}, n \geq 2$，行列式的线性性是针对于行列式某一行某一列的，而不是整个行列式的

2.行列式的性质

性质1:行列式与它的转置行列式相等，$\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A|$

性质2:对换行列式的两行（列），行列式变号
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零
证明：设行列式

$$D_{1}=\left|\begin{array}{cccc}{b_{11}} & {b_{12}} & {\cdots} & {b_{1 \mathrm{n}}} \\ {b_{21}} & {b_{22}} & {\cdots} & {b_{2 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {b_{n 1}} & {b_{n 2}} & {\cdots} & {b_{n n}}\end{array}\right|$$

对换任意两行（列），有D = -D，故 D=0。

性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

性质4: 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零
性质5: 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{i 1}+a_{i 1}^{\prime}} & {a_{i 2}+a_{i 2}^{\prime}} & {\cdots} & {a_{i n}+a_{i n}^{\prime}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right|$$

则D等于下列两个行列式之和：

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{i 1}} & {a_{i 2}} & {\cdots} & {a_{i n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{i 1}^{\prime}} & {a_{i 2}^{\prime}} & {\cdots} & {a_{i n}^{\prime}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right|$$

性质6: 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上面，行列式不变

3.行列式的几何意义：

（1）行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或体积。
（2）坐标系变换下的图形面积或体积的伸缩因子，即变换矩阵A的行列式 detA。

4.行列式按行（列）展开

定义1：在n阶行列式中，把$(i, j)$元$a{i j}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做$(i, j)$元$a{i j}$的余子式（complement minor），记作$M_{i j}$；记

$$A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}$$

$A{i j}$叫做$(i, j)$元$a{i j}$的代数余子式（algebraic complement cofactor）

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定义2：行列式$|\mathbf{A}|$的各个元素的代数余子式$A_{i j}$所构成的如下矩阵：

$$A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}{A_{11}} & {A_{21}} & {\cdots} & {A_{n 1}} \\ {A_{12}} & {A_{22}} & {\cdots} & {A_{n 2}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {A_{1 n}} & {A_{2 n}} & {\cdots} & {A_{n n}}\end{array}\right)$$

称为矩阵A的伴随矩阵

有

$$A A^{*}=A^{*} A=|A| E$$

证明：设$A=\left(a{i j}\right)$，记$A A^{*}=\left(b{i j}\right)$，则

$$b_{i j}=a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=\left\{\begin{array}{cc}{|A|,} & {i=j} \\ {0,} & {i \neq j}\end{array}\right.$$

故

$$A A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}{|A|} & {} & {} & {} \\ {} & {|A|} & {} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {} & {|A|}\end{array}\right)=|A| E$$

类似有

$$A^{*} A=|A| E$$

伴随矩阵的结构讨论：
若A是一个n阶矩阵，$A^{*}$ 是$A$的伴随矩阵

（1）当$r(A) = n$，$A$满秩时，$A$可逆，$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$，故$A^{*}$可逆，$A^{*}$满秩，$r(A^{*}) = n$
（2）当$r(A) = n - 1$时，$A$不满秩，$|A|=0$，$A A^{*}=A^{*} A =|A| E=0$，故$A^{*}$的列属于A的零空间，而$\operatorname{dim} N(A)=1$，且存在$A^{*}_{i j} \neq 0$，故$r(A^{*}) = 1$，$A^{*}$为秩一矩阵，可看做一列向量与一行向量之积。
（3）$r(A) \leq n-2$，$A$的任意n-1阶子矩阵不可逆，所以$A^{*}$的所有元素都等于0，$A^{*}$为零矩阵

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定理：若$|\mathbf{A}| \neq 0$，则矩阵A可逆，且

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$$

其中$A^{*}$为矩阵A的伴随矩阵

5.行列式的计算

方法一：

n阶行列式的定义 设有$n^{2}$个数，排成n行n列的数表

$$\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}$$

作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号$(-1)^{t}$，得到形如

$$(-1)^{t} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \cdots a_{n p_{n}}$$

的项，其中$p{1} p{2} \cdots p_{n}$为自然数$1,2, \cdots, n$的一个排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n！个，因而形如上式的项共有n！项。所有这n！项的代数和

$$\sum(-1)^{t} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \cdots a_{n p_{n}}$$

称为n阶行列式，记作

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right|$$

简记作$\operatorname{det}\left(a{i j}\right)$，其中数$a{i j}$为行列式D的(i，j)元。

⚠️n = 1时，一阶行列式$|a|=a$，注意不要和绝对值记号混淆

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方法二：行列式按行（列）展开法则

定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

$$D=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n} \quad(i=1,2, \cdots, n)$$

或

$$D=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j} \quad(j=1,2, \cdots, n)$$

推论: 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即

$$\begin{array}{l}{a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=0, \quad i \neq j} \\ {a_{1 i} A_{1 j}+a_{2 i} A_{2 j}+\cdots+a_{n i} A_{n j}=0, \quad i \neq j}\end{array}$$

证明：《工程数学 线性代数 第六版》 同济大学数学系 高等教育出版社 P19

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典型例题：证明范德蒙德（Vandermonde）行列式

$$D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}{1} & {1} & {\cdots} & {1} \\ {x_{1}} & {x_{2}} & {\cdots} & {x_{n}} \\ {x_{1}^{2}} & {x_{2}^{2}} & {\cdots} & {x_{n}^{2}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {x_{1}^{n-1}} & {x_{2}^{n-1}} & {\cdots} & {x_{n}^{n-1}}\end{array}\right|=\prod_{n \geqslant i>j \geqslant 1}\left(x_{i}-x_{j}\right)$$

证明：《工程数学 线性代数 第六版》 同济大学数学系 高等教育出版社 P18～19

行列式的计算方法技巧：化上（下）三角形法和降阶法

6.克拉默法则 Cramer’s rule

用途：解决方程个数与未知数个数相等并且系数行列式不等于零的线性方程组
含有n个未知数$x{1}, x{2}, \cdots, x_{n}$的n个线性方程的方程组

$$\left\{\begin{array}{l}{a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}} \\ {a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}} \\ {\cdots \cdots \cdots \cdots} \\ {a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}}\end{array}\right.$$

它的解可以用n阶行列式表示，即有

克拉默法则：如果以上线性方程组的系数矩阵$A$的行列式不等于零，即

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}{a_{11}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{n 1}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right| \neq 0$$

那么，方程组有唯一解

$$x_{1}=\frac{\left|A_{1}\right|}{|A|}, \quad x_{2}=\frac{\left|A_{2}\right|}{|A|}, \cdots, \quad x_{n}=\frac{\left|A_{n}\right|}{|A|}$$

其中$A_{j}(j=1,2, \cdots, n)$是把系数矩阵$A$中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶矩阵，即

$$A_{j}=\left(\begin{array}{ccccccc}{a_{11}} & {\cdots} & {a_{1, j-1}} & {b_{1}} & {a_{1, j+1}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {a_{n 1}} & {\cdots} & {a_{n, j-1}} & {b_{n}} & {a_{n, j+1}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right)$$

证明：《工程数学 线性代数 第六版》 同济大学数学系 高等教育出版社 P45

7.行列式表示向量积和混合积

下面推导向量积的坐标表示式

设$a=a{x} i+a{y} j+a{z} k, b=b{x} i+b{y} j+b{z} k$，有

$$\begin{aligned} \mathbf{a} \times \mathbf{b}=&\left(a_{x} \mathbf{i}+a_{y} \mathbf{j}+a_{z} \mathbf{k}\right) \times\left(b_{x} \mathbf{i}+b_{y} \mathbf{j}+b_{z} \mathbf{k}\right) \\=& a_{x} \mathbf{i} \times\left(b_{x} \mathbf{i}+b_{y} \mathbf{j}+b_{z} \mathbf{k}\right)+\\ & a_{y} \mathbf{j} \times\left(b_{x} \mathbf{i}+b_{y} \mathbf{j}+b_{z} \mathbf{k}\right)+a_{z} \mathbf{k} \times\left(b_{x} \mathbf{i}+b_{y} \mathbf{j}+b_{z} \mathbf{k}\right) \\=& a_{x} b_{x}(\mathbf{i} \times \mathbf{i})+a_{x} b_{y}(\mathbf{i} \times \mathbf{j})+a_{x} b_{z}(\mathbf{i} \times \mathbf{k})+\\ & a_{y} b_{x}(\mathbf{j} \times \mathbf{i})+a_{y} b_{y}(\mathbf{j} \times \mathbf{j})+a_{y} b_{z}(\mathbf{j} \times \mathbf{k})+\\ & a_{z} b_{x}(\mathbf{k} \times \mathbf{i})+a_{z} b_{y}(\mathbf{k} \times \mathbf{j})+a_{z} b_{z}(\mathbf{k} \times \mathbf{k}) \end{aligned}$$

因为$i \times i=j \times j=k \times k=0, i \times j=k, j \times k=i, k \times i=j, j \times i=-k, k \times j=-i, i \times k=-j$，所以

$$a \times b=\left(a_{y} b_{z}-a_{z} b_{y}\right) i+\left(a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z}\right) j+\left(a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x}\right) k$$

为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式写成

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}{\mathbf{i}} & {\mathbf{j}} & {\mathbf{k}} \\ {a_{x}} & {a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{y}} & {b_{z}}\end{array}\right|$$

---

下面来推出三向量的混合积的坐标表示式：
设$a=\left(a{x}, a{y}, a{z}\right), b=\left(b{x}, b{y}, b{z}\right), c=\left(c{x}, c{y}, c_{z}\right)$，因为

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}{\mathbf{i}} & {\mathbf{j}} & {\mathbf{k}} \\ {a_{x}} & {a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{y}} & {b_{z}}\end{array}\right|$$ $$=\left|\begin{array}{ll}{a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{y}} & {b_{z}}\end{array}\right| \mathbf{i}-\left|\begin{array}{ll}{a_{x}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{z}}\end{array}\right| \mathbf{j}+\left|\begin{array}{ll}{a_{x}} & {a_{y}} \\ {b_{x}} & {b_{y}}\end{array}\right| \mathbf{k}$$

再按两向量的数量积的坐标表示式，便得$(a \times b) \cdot c$

$$=c_{x}\left|\begin{array}{ll}{a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{y}} & {b_{z}}\end{array}\right|-c_{y}\left|\begin{array}{ll}{a_{x}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{z}}\end{array}\right|+c_{z}\left|\begin{array}{ll}{a_{x}} & {a_{y}} \\ {b_{x}} & {b_{y}}\end{array}\right|$$ $$=\left|\begin{array}{lll}{a_{x}} & {a_{y}} & {a_{z}} \\ {b_{x}} & {b_{y}} & {b_{z}} \\ {c_{x}} & {c_{y}} & {c_{z}}\end{array}\right|$$

8.行列式与QR分解的联系

定理：$V^{2}=\operatorname{det}\left(A^{T} A\right)$

V为A的列向量组成的超平行六面体的体积，其中A不一定是方阵，把矩阵A的列向量通过Gram-Schmidt正交化，

$$A=Q R, R=\left(\begin{array}{cccc}{\left\|e_{1}\right\|} & {*} & {\cdots} & {*} \\ {0} & {\left\|e_{2}\right\|} & {\cdots} & {*} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {\cdots} & {\left\|e_{n}\right\|}\end{array}\right)$$ $$A^{T} A=R^{T}Q^{T} QR=R^{T}R \Longrightarrow \operatorname{det}\left(A^{T} A\right)=\operatorname{det}\left(R^{T} R\right)=[\operatorname{det}(R)]^{2}=\left[\left\|\mathbf{e}_{1}\right\| ……\left\|\mathbf{e}_{n}\right\|\right]^{2}=V^{2}$$

个人理解：A如果是方阵，结论就很显然了，因为$\operatorname{det}\left(A^{T} A\right)=[\operatorname{det}(A)]^{2}$，而A的行列式的几何意义就是A的列向量组成的超平行六面体的体积，但是A不一定是方阵，如果A是一个m行n列的矩阵，我们通过证明发现，这个式子依旧是成立的，依旧有$V^{2}=\operatorname{det}\left(A^{T} A\right)$