参考资料:
清华大学数学科学系-线性代数-马辉
《工程数学 线性代数 第六版》 同济大学数学系 高等教育出版社
Linear Algebra by Gilbert Strang MIT麻省理工线性代数公开视频课
基和维数
$\left{\mathbf{v}{1}, \cdots, \mathbf{v}{n}\right}$是$V$的一个基（basis）
（1）$\mathbf{v}{1}, \cdots, \mathbf{v}{n}$线性无关
（2）$\forall \alpha \in V, \alpha$是$\mathbf{v}{1}, \cdots, \mathbf{v}{n}$的线性组合
我们说$V$的维数（dimension）是$n =$基中向量个数
定理：设$V$是一个向量空间，$\left{\mathbf{v}{1}, \cdots, \mathbf{v}{n}\right}$是一组基，$\left{\mathbf{w}{1}, \cdots, \mathbf{w}{m}\right}$是另一组基，则$m=n$
命题：$\mathbb{R}^{n}$中任意$n+1$个向量线性相关
性质：设$\mathbf{v}{1}, \cdots, \mathbf{v}{n}$是$\mathbb{R}^{n}$的一组基，$A$是一个$n \times n$可逆矩阵，则$A \mathbf{v}{1}, \cdots, A \mathbf{v}{n}$也是$\mathbb{R}^{n}$的一组基。
关于秩的不等式
(1) $r(A)=r\left(A^{T}\right)$
(2) $r(A B) \leq \min (r(A), r(B))$
(3) $r(A+B) \leq r(A)+r(B)$
四个基本子空间
设A是一个$m \times n$阶矩阵，考虑：
列空间（column space）$C(A)=\left{\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{m} | \mathbf{y}=A \mathbf{x}, \exists \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}\right}$ $dim = r$
行空间（row space）$C\left(A^{T}\right)=\left{\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n} | \mathbf{y}=A^{T} \mathbf{x}, \exists \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{m}\right}$ $dim = r$
零空间（null space）$N(A)=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} | A \mathbf{x}=\mathbf{0}\right}$ $dim = n-r$
左零空间（left null space）$N\left(A^{T}\right)=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{m} | A^{T} \mathbf{x}=\mathbf{0}\right} =\left{\mathrm{x} \in \mathbb{R}^{m} | \mathrm{x}^{T} A=0\right}$ $dim = m-r$
维数公式
设$V$是一个向量空间，$W{1}, W{2}$是两个子空间，则$W{1} \cap W{2}$和$W{1}+W{2}$是$V$的子空间，但$W{1} \cup W{2}$一般不是子空间
这些空间的维数有如下关系：
$\operatorname{dim} W{1}+\operatorname{dim} W{2}=\operatorname{dim}\left(W{1} \cap W{2}\right)+\operatorname{dim}\left(W{1}+W{2}\right)$
四个子空间的正交性
定义：设$S$和$T$是$\mathbb{R}^{n}$的两个子空间（subspaces），我们说$S$垂直（perpendicular）于$T$，如果对于$\forall \mathbf{v} \in S, \mathbf{w} \in T, \mathbf{v}^{T} \mathbf{w}=0$，记作$S \perp T$或$T \perp S$。我们也可以说：$S$和$T$是正交（orthogonal）的。
定理：设$A$是$m \times n$阶矩阵，则$C(A)$和$N\left(A^{T}\right)$正交，$C\left(A^{T}\right)$和$N(A)$正交。
四个子空间还有如下的关系：
$C\left(A^{T}\right)+N(A)=\mathbb{R}^{n}, C\left(A^{T}\right) \perp N(A)$
$C(A)+N\left(A^{T}\right)=\mathbb{R}^{m}, C(A) \perp N\left(A^{T}\right)$
正交补定义：设$V \subset \mathbb{R}^{n}$是一个子空间，$V$在$\mathbb{R}^{n}$中的正交补定义为集合$\left{\mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n} | \mathbf{v}^{T} \mathbf{w}=0, \forall \mathbf{v} \in V\right}$，记作$V^{\perp}$
Ax=b在行空间中的唯一性
定理：若$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$有解，则$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$在$C\left(A^{T}\right)$中有唯一解