复习线性代数逆矩阵部分
参考资料:
清华大学数学科学系-线性代数-马辉
《工程数学 线性代数 第六版》 同济大学数学系 高等教育出版社
Linear Algebra by Gilbert Strang MIT麻省理工线性代数公开视频课
可逆矩阵的定义
定义：对方阵$A$，若存在矩阵$B$，满足$A B=B A=I$，则称$A$是可逆的（invertible），称$B$是$A$的逆矩阵（inverse matrix），记作$A^{-1}$。
不可逆矩阵也称为奇异矩阵（singular matrix），而可逆矩阵也称为非奇异矩阵（nonsingular matrix）。
矩阵可逆的性质
（1）若方阵$A$满足$A B=I, C A=I$，则$B=C$。特别的，方阵的逆唯一
证明：$C=C I=C(A B)=(C A) B=I B=B$
（2）若$A$可逆，则$A \mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解$\mathbf{x}=A^{-1} \mathbf{b}$
（3）$A \mathbf{x}=0$有非零解$\Longleftrightarrow A$不可逆，$A$可逆$\Longleftrightarrow A \mathbf{x}=0$只有零解
定理：
（1）若$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也可逆，且$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
（2）若n阶方阵$A$和$B$都可逆，则$A B$可逆，且$(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$
（3）若$A$可逆，则$A^{T}$也可逆，且$\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$
证明：$A^{T}\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{-1} A\right)^{T}=I^{T}=I,\left(A^{-1}\right)^{T} A^{T}=\left(A A^{-1}\right)^{T}=I^{T}=I$
注意⚠️：$(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$是错的
Gauss-Jordan消元法求矩阵$A$的逆
设$A$可逆，则通过初等行变换$\left(A \vert I{n}\right) \longrightarrow \left(I{n} \vert A^{-1}\right)$
由Gauss-Jordan消元法求逆矩阵的过程知：
设矩阵$A$可逆，则$A$可经过一系列初等行变换化成单位矩阵$I$。因此有初等矩阵$E{1}, E{2}, \cdots, E_{k}$使得
故
$A$可逆$\longleftrightarrow$ $A$可表示成一系列初等矩阵的乘积
矩阵可逆与主元个数
定理：$n$阶矩阵$A$可逆$\longleftrightarrow$ $A$有$n$个主元
下三角矩阵的逆
主对角线下（上）方元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵
定理：两个$n$阶下（上）三角矩阵$A$和$B$的乘积仍为下（上）三角矩阵，且$AB$的主对角元等于$A$与$B$的相应主对角元的乘积。
定理：
下三角矩阵可逆$\longleftrightarrow$主对角元素都非零
可逆下三角矩阵的逆也是下三角阵
若原矩阵对角元素都是1，则逆的对角元也都是1
分块矩阵的消元和逆
分块矩阵的初等行变换：
1，把一个块行减去另一个块行左乘以$P$
2，两个块行互换位置
3，用一个可逆矩阵左乘某一块行
类似有分块矩阵的初等列变换，则需要用矩阵作右乘
注意：分块矩阵$A,B$可乘$\longleftrightarrow$ $A$的列的划分与$B$的行的划分一致