复习线性代数第四章：矩阵乘法的性质，方幂和转置
参考资料：
清华大学数学科学系-线性代数-马辉
《工程数学 线性代数 第六版》 同济大学数学系 高等教育出版社
Linear Algebra by Gilbert Strang 麻省理工视频公开课程
关于矩阵的基础运算：加法，数乘，矩阵乘法，分块矩阵（block matrix）等内容，由于内容比较基础，就略过不予赘述。
矩阵乘法的性质
1，矩阵乘法不满足乘法交换律，设$A$为$m \times n$矩阵，$B$为$n \times p$矩阵。$A$和$B$可做乘法，但$B$与$A$未必可做乘法。即使$A$与$B$，$B$与$A$都可做乘法，也有可能$A B \neq B A$，若碰巧$A B = B A$，称A和B可交换。
2，消去律对矩阵乘法不成立，即若$A B = A C$，不能断定$B=C$
3，若$AB=0$，不能断定$A=0$或$B=0$
分块矩阵的乘法：
分块矩阵$A,B$可乘$\longleftrightarrow$ $A$的列的划分与$B$的行的划分一致
矩阵的方幂
设$A$是$n \times n$矩阵，$p$是正整数，则$A^{p}=\underbrace{A \cdots A}{p 个}$ 称为矩阵$A$的$p$次幂。规定$A^{0}=I{n}$。
注意：由于矩阵乘法不满足交换律。所以一般地
分块矩阵的计算机意义
当矩阵太大时，不适于存储在高速计算机内存中，分块矩阵允许计算机一次处理几块子矩阵，当把矩阵分块后再进行矩阵计算会更有效。
矩阵的转置
将$m \times n$矩阵$A=\left(a{i j}\right){m \times n}$的行与列互换，得到的矩阵$\left(a{j i}\right){n \times m}$称为$A$的转置（transpose），记为$A^{T}$。
性质：
（1）$\left(A^{T}\right)^{T}=A$
（2）$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
（3）对任意数$k$,$(k A)^{T}=k A^{T}$
（4）$(A B)^{T}=B^{T} A^{T}$
$(A B)^{T}=B^{T} A^{T}$的证明：
设$A$为$m \times n$矩阵，$B$为$n \times p$矩阵
故$(A B)^{T}=B^{T} A^{T}$
矩阵转置的应用：内积
设$\mathbf{x}, \mathbf{y}$为两$n$维列向量，则$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=\mathbf{x}^{T} \mathbf{y}=\mathbf{y}^{T} \mathbf{x}$
对称矩阵（symmetric matrix）
若$A^{T}=A$，则称$A$是一个对称矩阵（symmetric matrix）
若$A^{T}=-A$，则称$A$是一个反对称矩阵（anti-symmetric matrix）
设$R$为$m \times n$矩阵，则$R R^{T}$为$m \times m$对称矩阵，$R^{T} R$为$n \times n$对称矩阵，且其对角元均非负。而且这两个矩阵尽管阶数不同，但是它们两对角线上元素的和是相等的，即迹（trace）相等