线性代数（2）：矩阵与线性方程组

复习线性代数：矩阵与线性方程组

参考资料:
清华大学数学科学系-线性代数-马辉
《工程数学 线性代数 第六版》同济大学数学系高等教育出版社
Linear Algebra by Gilbert Strang 麻省理工视频公开课程

2.1 矩阵与向量的乘积

矩阵与向量乘积以旋转变换为例：
矩阵$
\left(
\begin{matrix}
\cos \varphi&-\sin \varphi\
\sin \varphi&\cos \varphi\
\end{matrix}
\right)
$对应的线性变换

$\left( \begin{matrix} \cos \varphi&-\sin \varphi\\ \sin \varphi&\cos \varphi\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_{1}\\ y_{1}\\ \end{matrix} \right)$ $\left\{\begin{array}{l}{x_{1}=x \cos \varphi-y \sin \varphi} \\ {y_{1}=x \sin \varphi+y \cos \varphi}\end{array}\right.$

把$xOy$平面上的向量$\overrightarrow{O P}=(x,y)$变换为向量$\overrightarrow{O P{1}}=(x{1},y_{1})$。
设$\overrightarrow{OP}$的长度为$r$，辐角为$\theta$，即设$x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$，那么

$\begin{aligned} x_{1} &=r(\cos \varphi \cos \theta-\sin \varphi \sin \theta)=r \cos (\theta+\varphi) \\ y_{1} &=r(\sin \varphi \cos \theta+\cos \varphi \sin \theta)=r \sin (\theta+\varphi) \end{aligned}$

表明$\overrightarrow{O P_{1}}$的长度为$r$，而辐角为$\theta+\varphi$。因此，这是把向量$\overrightarrow{OP}$（依逆时针方向）旋转$\varphi$角（即把点P以原点为中心逆时针旋转$\varphi$角）的旋转变换。

进一步还可推知，用

$A^{n}=\left( \begin{array}{cc}{\cos \varphi} & {-\sin \varphi} \\ {\sin \varphi} & {\cos \varphi}\end{array}\right)^{n}$

，相当于把向量$\overrightarrow{O P}$按逆时针方向旋转n个$\varphi$角，即旋转$n \varphi$角，而旋转$n\varphi$角的变换所对应的矩阵为

$\left( \begin{array}{cc}{\cos n \varphi} & {-\sin n \varphi} \\ {\sin n \varphi} & {\cos n \varphi}\end{array}\right)$

，亦即成立

$\left( \begin{array}{cc}{\cos \varphi} & {-\sin \varphi} \\ {\sin \varphi} & {\cos \varphi}\end{array}\right)^{n}=\left( \begin{array}{cc}{\cos n \varphi} & {-\sin n \varphi} \\ {\sin n \varphi} & {\cos n \varphi}\end{array}\right)$

2.2 可逆矩阵

若对于方阵$A$： $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$对任意向量$\vec b$有唯一解，则矩阵$A$是可逆的（invertible）。可逆矩阵的列向量线性无关（linearly independent），且$A \mathbf{x}=\mathbf{0}$只有零解。不可逆矩阵称为奇异（singular）矩阵，列向量是线性相关的（linearly depentent），$A \mathbf{x}=\mathbf{0}$有无穷多解。

2.3 线性方程组的行图和列图

方程组的行图（row picture）

例子1：给定线性方程组

$\left\{\begin{array}{l}{x-2 y=0} \\ {2 x-y=3}\end{array}\right.$

它可以写成矩阵的形式

$\left( \begin{array}{ll}{1} & {-2} \\ {2} & {-1}\end{array}\right) \left( \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{l}{0} \\ {3}\end{array}\right)$

从行（row）的角度看，每行代表一条直线，方程组的解为两直线的交点