复习线性代数第一章：向量及向量空间的定义
参考资料:
清华大学数学科学系-线性代数-马辉
《工程数学 线性代数 第六版》 同济大学数学系 高等教育出版社
Linear Algebra by Gilbert Strang MIT麻省理工线性代数公开视频课，非常推荐！
1.向量空间的定义
在由称为“向量”的元素构成的非空集合 V 中，若定义了加法和数乘运算，且对任意向量 $\vec a,\vec b,\vec c$ 及数$k,l \in F$ （F为数域）满足以下8条性质：
加法结合律和加法交换律
1.$\vec a+(\vec b+\vec c)=(\vec a+\vec b)+\vec c$
2.$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$
存在 零向量 和 负向量
3.存在零向量 $\vec 0$，有$\vec a+\vec 0=\vec a$
4.对任意向量$\vec a$，存在唯一相反向量 $-\vec a$，使得$\vec a+(-\vec a)=\vec 0$
数乘规律：满足乘法结合律和分配律
5.$1·\vec a=\vec a$
6.$(kl)\vec a=k(l\vec a)$
7.$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$
8.$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$
2.向量的线性组合
定义：设$\vec v{1},…,\vec v{m}$ 为m个n维向量，$c{1},…,c{m}\in R$，则称$c{1}\vec v{1}+…+c{m}\vec v{m}$ 为向量$\vec v{1},…,\vec v{m}$ 的一个线性组合。（包含向量的加法和数乘）
3.向量的点积，长度
定义：设$\vec v=(v{1},…,v{n}),\vec w=(w{1},…,w{n})$ 是两个n维向量，定义点积（dot product）$\vec v·\vec w$为
点积又称为内积(inner product)或数量积(scalar product)
注意：两个向量的点积是一个数
定义：向量$\vec v$的 长度(length) 或 模(norm) 定义为
若$\vec v=(v{1},…v{n})$，则$||\vec v||=\sqrt{v{1}^{2}+…+v{n}^{2}}$
定义：若$||\vec v||=1$，则$\vec v$称为单位向量(unit vector)
向量单位化：任给一个非零向量$\vec v$，则$\frac{\vec v}{||\vec v||}$是沿$\vec v$方向的单位向量
向量点积的性质：
1.$\vec v·\vec w=\vec w·\vec v$（对称性）
2.$\vec u·(c\vec v+d\vec w)=c\vec u·\vec v+d\vec u·\vec w$（线性性）
3.$\vec v·\vec v=||\vec v||^{2}\ge 0$，且当且仅当$\vec v=\vec 0$时等号成立（正定性）
4.向量的夹角
定义：若$\vec v·\vec w=0$，则称向量$\vec v$和$\vec w$垂直（perpendicular）或称正交（orthogonal）。记作$\vec v\perp \vec w$或$\vec w\perp \vec v$
规定：零向量与任意向量垂直
命题：两非零向量$\vec v,\vec w$的夹角$\theta$满足$cos\theta=\frac{\vec v·\vec w}{||\vec v||||\vec w||}$
5.两个重要不等式
（1）Cauchy-Schwarz不等式：$|\vec v·\vec w|\le ||\vec v||||\vec w||$，等号成立当且仅当一个向量是另一个向量的倍数
（2）三角不等式（Triangle inequality）$||\vec v+\vec w||\le ||\vec v||+||\vec w||$，等号成立当且仅当$\vec v,\vec w$之一为另一向量的非负倍数。
